Question

某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個二進制的4位數(shù)N=n₁，n₂，n₃，n₄，其中N的各位數(shù)字中n₁=1，n₄是隨機（等可能性）地出現(xiàn)0或1，而n₂和n₃出現(xiàn)0的概率為

3

5

，出現(xiàn)1的概率為

2

5

，記ξ=n₁+n₂+n₃+n₄
（1）求ξ=3時的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用互斥事件乘法公式能求出P（ξ=3）．
（2）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

3

5

×

1

2

=

13

25

．
（2）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=

3

5

×

3

5

×

1

2

=

9

50

，
P（ξ=2）=

2

5

×

3

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

2

5

×

1

2

=

13

25

，
P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

3

5

×

1

2

=

13

25

，
P（ξ=4）=

3

5

×

3

5

×

1

2

=

9

50

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	9 50	13 25	13 25	9 50

Eξ=1×

9

50

+2×

13

25

+3×

13

25

+4×

9

50

=

7

2

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．