Question

已知sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．（-1＜m＜1 ）
（1）求tanθ的值；
（2）若m=

1

5

，求sin²θ-sinθcosθ+2的值．

Answer 1

分析：（1）先將已知兩邊平方，得sinθcosθ＜0，故sinθ＞0，cosθ＜0，再通過平方法求sinθ-cosθ，與已知聯(lián)立即可解得sinθ，cosθ，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得tanθ=

sinθ

cosθ

（2）若m=

1

5

，則由（1）可得tanθ=-

4

3

，然后將所求三角函數(shù)式化為二次齊次分式，分子分母同除以cos²θ，最后將tanθ=-

4

3

代入計算即可

解答：解：∵sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．①
∴（sinθ+cosθ）²=m²，即1+2sinθcosθ=m²，
∴2sinθcosθ=m²-1＜0，
∴cosθ＜0，sinθ＞0，
∴sinθ-cosθ=

1-2sinθcosθ

=

2-m2

，②
由①、②，得：sinθ=

m+ 2-m2

2

，cosθ=

m- 2-m2

2

，
∴tanθ=

m+ 2-m2

m- 2-m2

．
（2）∵m=

1

5

∴tanθ=-

4

3

．
sin²θ-sinθcosθ+2=

sin2θ-sinθcosθ+2(sin2θ+cos2θ)

sin2θ+cos2θ

=

3tan2θ-tanθ+2

tan2θ+1

=

78

25

．

點評：本題考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用，sinθ與cosθ的和差積商間的關(guān)系，整體代入的思想方法．