Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且 是1與an的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，證明： ＜Tn＜1（n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n=1時(shí)，a1=1，
n≥2時(shí)，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ，
又4Sn=（an+1）2 ，
兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n﹣1．
（Ⅱ）由 = ﹣ ，
故Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1
當(dāng)n=1時(shí)，T1= ，
故 ＜Tn＜1（n∈N*）
【解析】（Ⅰ）n=1時(shí)，可求得a1=1；依題意，4Sn=（an+1）2 ， n≥2時(shí)，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 二式相減，可得an﹣an﹣1=2，從而可求數(shù){an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法可求得 = ﹣ ，于是可求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn ， 利用放縮法即可證明．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．