Question

對(duì)任意x，y滿足f（x+y）=f（x）f（y），若f（1）=2，n∈N^*，則f（

1

3n

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得，f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），利用迭代法求函數(shù)的值．

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），
∴f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）
=f（

2

3n

）•f（

1

3n

）=f（

3

3n

）=f（

1

3n-1

），
∴f（

1

3n-1

）=f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），
f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，
f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

）=f⁹（

1

32

）=f33(

1

33

)=…=f3n(

1

3n

)，
∴f3n(

1

3n

)=2，
故f（

1

3n

）=2

1

3n

，
故答案為：2

1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的代入應(yīng)用，同時(shí)考查了迭代法的應(yīng)用，屬于中檔題．