Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（2）求證：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析：（1）連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)O，連接DO，先利用三角形中位線定理證明BC₁∥DO，從而利用線面平行的判定定理證明所證結(jié)論；
（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理證明直線CD⊥平面AA₁B₁B，再由面面垂直的判定定理證明所證結(jié)論即可

解答：解：如圖，（1）連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)O，連接DO
在△ABC₁中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是A₁C的中點(diǎn)
∴BC₁∥DO，BC₁?平面CA₁D，DO⊆平面CA₁D
∴BC₁∥平面CA₁D
（2）∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)
∴CD⊥AB
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，平面AA₁B₁B∩平面ABC=AB
∴CD⊥平面AA₁B₁B，又CD?平面CA₁D
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直棱柱中的線面、面面關(guān)系，線面及面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，推理論證的能力和表達(dá)能力，注意證明過(guò)程的嚴(yán)密性