Question

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1，5]=1，[-1，3]=-2，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域為A，記集合A中的元素個數(shù)為a_n，則
（1）a₂=

2

；
（2）式子

an+90

n

的最小值為

13

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到a₂的值．
（2）由（1）可得到 a_n+90n，用基本不等式并結(jié)合n為正整數(shù)，即可求出式子

an+90

n

的最小值．

解答：解：（1）由題意可得[x]=

0 ， x∈[0 ，1) 1 ，x∈[1 ，2) … n-1 ， x∈[n-1 ，n)

，∴x•[x]=

0  ，x∈[0 ，1) x ，x∈[1 ，2) 2 x，x∈[2 ，3) … (n-1)x ，x∈[n-1 ，n)

，
∴[x•[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+1+2+…+（n-1）=

n2-n+2

2

，∴a₂=2，
故答案為 2．
（2）式子

an+90

n

=

n2-n+2 2 +90

n

=

n

2

+

91

n

-

1

2

≥2

91 2

-

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=

182

時，等號成立．
由于n為正整數(shù)，故當(dāng)n=13，或 n=14時，式子

an+90

n

 取得最小值．
當(dāng)n=13時，式子

an+90

n

=

13

2

+

91

13

-

1

2

=13，當(dāng)n=14時，式子

an+90

n

=

14

2

+

91

14

-

1

2

=13，
故式子

an+90

n

的最小值為 13．
故答案為 13．

點評：本題主要通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域，屬于中檔題．