Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=e^xlnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線為l，點(diǎn)（1，0）到直線l的距離為

2

2

，求a的值；
（Ⅱ）若對于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)求出曲線y=f（x）在x=1處的切線l的方程，再由點(diǎn)（1，0）到直線l的距離為

2

2

列式求解a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，對任意實(shí)數(shù)a，f（x）=e^x＞0恒成立；當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)a，然后
構(gòu)造輔助函數(shù)Q(x)=-

ex

x

，由導(dǎo)數(shù)求其最大值，則a的范圍可求；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入M（x）=g（x）-f（x），整理后求其導(dǎo)函數(shù)，由其導(dǎo)函數(shù)恒大于0得到M（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)，從而說明函數(shù)M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上不存在極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax，
∴f′（x）=e^x+a，f（1）=e+a，
y=f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）=e+a，
∴切線l的方程為y-（e+a）=（e+a）（x-1），即（e+a）x-y=0．
又切線l與點(diǎn)（1，0）距離為

2

2

，
∴

|(e+a)•1+(-1)•0+0|

(e+a)2+(-1)2

=

2

2

，
解之得，a=-e+1，或a=-e-1；
（Ⅱ）∵對于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，
∴若x=0，則a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，f（x）=e^x＞0恒成立；   
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

在x＞0上恒成立，
設(shè)Q(x)=-

ex

x

，則Q′(x)=-

xex-ex

x2

=

(1-x)•ex

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，Q′（x）＞0，則Q（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，Q′（x）＜0，則Q（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，Q（x）取得最大值，Q（x）_max=Q（1）=-e，
∴a的取值范圍為（-e，+∞）．
綜上，對于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-e，+∞）；
（Ⅲ）依題意，M（x）=e^xlnx-e^x+x，
∴M′(x)=

ex

x

+exlnx-ex+1=(

1

x

+lnx-1)•ex+1，
設(shè)h(x)=

1

x

+lnx-1，則h′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，當(dāng)x∈[1，e]，h′（x）≥0，
故h（x）在[1，e]上單調(diào)增函數(shù)，因此h（x）在[1，e]上的最小值為h（1）=0，
即h(x)=

1

x

+lnx-1≥h(1)=0，
又e^x＞0，
∴在[1，e]上，M′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1＞0，
即M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上不存在極值．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求解字母的范圍，解答的關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，屬高考試卷中的壓軸題．