已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:對于任何n∈N*,有an=bn+1-bn,bn+2=(1+λ)bn+1-λbn(λ為非零常數(shù)),且b1=1,b2=2.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若b3是b6與b9的等差中項,試求λ的值,并研究:對任意的n∈N*,bn是否一定能是數(shù)列{bn}中某兩項(不同于bn)的等差中項,并證明你的結論.
分析:(1)由b
n+1=(1+λ)b
n-λb
n-1(n≥2,λ≠0)得,b
n+1-b
n=λ(b
n-b
n-1).所以a
n=λ
n-1.由b
n-b
1=(b
2-b
1)+(b
3-b
2)+…+(b
n-b
n-1),得b
n-b
1=1+λ+…+λ
n-2(n≥2),從而得到數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式.
(2)當λ=1時,b
3不是b
6與b
9的等差中項,不合題意;當λ≠1時,由2b
3=b
6+b
9得λ
8+λ
5-2λ
2=0,對任意的n∈N
*,b
n是b
n+3與b
n+6的等差中項.由
bn+3+bn+6-2bn=(2-λ3-λ6)=0,知
bn=,故對任意的n∈N
*,b
n是b
n+3與b
n+6的等差中項.
解答:解:(1)由b
n+1=(1+λ)b
n-λb
n-1(n≥2,λ≠0)得,b
n+1-b
n=λ(b
n-b
n-1).
又a
1=b
2-b
1=1,λ≠0,a
n≠0.
所以,{a
n}是首項為1,公比為λ的等比數(shù)列,a
n=λ
n-1.(5分)
由b
n-b
1=(b
2-b
1)+(b
3-b
2)+…+(b
n-b
n-1),得b
n-b
1=1+λ+…+λ
n-2(n≥2)
所以,當n≥2時,
bn=.(6分)
上式對n=1顯然成立(1分)
(2)當λ=1時,b
3不是b
6與b
9的等差中項,不合題意;.(1分)
當λ≠1時,由2b
3=b
6+b
9得λ
8+λ
5-2λ
2=0,
由λ≠0得λ
6+λ
3-2=0(可解得
λ=-)..(2分)
對任意的n∈N
*,b
n是b
n+3與b
n+6的等差中項(2分)
證明:∵
bn+3+bn+6-2bn=(2-λ3-λ6)=0,∴
bn=,..(3分)
即,對任意的n∈N
*,b
n是b
n+3與b
n+6的等差中項.
點評:本題考查求解數(shù)列通項公式的方法和等差中項的性質與證明,解題時要注意遞推公式的靈活運用.