Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）是區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可證明f（x）是區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)；
（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg（

1-x

x+1

）^-1=-lg

1-x

x+1

=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴y=

2

x+1

為減函數(shù)，
y=

2

x+1

-1為減函數(shù)，
∵y=lgx為增函數(shù)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）是區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)；
（3）∵

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴

2

x+1

-1＞0，
∴f（x）=lg

1-x

x+1

∈（-∞，+∞），
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，值域的判斷，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．