Question

函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有極值且極值大于0，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（1，2）
• C、（0，2）
• D、（3，4）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′(x)=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

，（x＞0）．對a分類討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)△＞0，a＞0時，a＞0．令f′（x）=0，解得x=

1+ 1+4a

2a

．由于函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有極值且極值大于0，因此x=

1+ 1+4a

2a

是函數(shù)f（x）的唯一極大值點(diǎn)．可得f(

1+ 1+4a

2a

)＞0．轉(zhuǎn)化為解不等式lnx-

1

2

+

1

2

x＞0，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：f′(x)=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

，（x＞0）．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值．
△=1+4a≤0滿足a≤0．
當(dāng)△＞0，a＞0時，a＞0．
f′（x）=

-a(x- 1- 1+4a 2a )(x- 1+ 1+4a 2a )

x

．
令f′（x）=0，解得x=

1+ 1+4a

2a

．
∵函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有極值且極值大于0，
∴x=

1+ 1+4a

2a

是函數(shù)f（x）的唯一極大值點(diǎn)．
∴f(

1+ 1+4a

2a

)＞0．
∵滿足ax²-x=1．
∴lnx-

1

2

+

1

2

x＞0，
令g（x）=lnx-

1

2

+

1

2

x，
g′（x）=

1

x

+

1

2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
而g（1）=0．
∴x＞1，
∴

1+ 1+4a

2a

＞1，
解得0＜a＜2．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．