Question

（2009•朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞n+1（n∈N^*）；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)h（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)h（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-ex+ex+

1

2

x2，g（x）=elnx，h（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=e^x-e，令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，由此能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在x=1取得最小值，所以f（x）≥f（1），即e^x≥ex，兩端同時(shí)乘以

1

e

得e^x-1≥x，把x換成t+1得e^t≥t+1，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成立．由此能夠證明e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞n+1（n∈N^*）．
（Ⅲ）設(shè)F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)．則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

．所以當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．因此x=

e

時(shí)F（x）取得最小值0，則h（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點(diǎn)(

e

，

1

2

e)．由此能夠?qū)С?span id="6ko7vg1" class="MathJye">k=

e

，b=-

1

2

e．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)閒'（x）=e^x-e，
令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，
令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，（1，+∞）上遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）=0．                   …（3分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在x=1取得最小值，
所以f（x）≥f（1），
即e^x≥ex
兩端同時(shí)乘以

1

e

得e^x-1≥x，
把x換成t+1得e^t≥t+1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成立．
由e^t≥t+1得，e¹＞1+1=2，e

1

2

＞

1

2

+1=

3

2

，
e

1

3

＞

1

3

+1=

4

3

，
…
e

1

n-1

＞

1

n-1

+1=

n

n-1

，e

1

n

＞

1

n

+1=

n+1

n

．
將上式相乘得
e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞2×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

×

n+1

n

=n+1．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)．
則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

．
所以當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
因此x=

e

時(shí)F（x）取得最小值0，
則h（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點(diǎn)(

e

，

1

2

e)．
設(shè)h（x）與g（x）存在“分界線”，
方程為y-

1

2

\user2e=k(x-

e

)．
由h(x)≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，
則x2-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立．
因此k=

e

．
下面證明g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．
設(shè)G(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，
G′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

．
所以當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，G'（x）＞0；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，G'（x）＜0．
因此x=

e

時(shí)G（x）取得最大值0，
則g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．
所以k=

e

，b=-

1

2

e．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的應(yīng)用和用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．