正態(tài)總體N（0，1）的概率密度函數(shù)是f(x)=.x∈R.

(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；

（2）求f(x)的最大值；

(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f(x)的增減性.

解：（1）對(duì)于任意的x∈R，

f(-x)===f(x)

∴f(x)是偶函數(shù).

(2)令z=,當(dāng)x=0時(shí)，z=0，e z=1,∵e z是關(guān)于z的增函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，z＞0,e z＞1,

∴當(dāng)x=0,即z=0時(shí)，取得最小值.

∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=取得最大值.

(3)任取x1＜0,x2＜0,且x1＜x2,有x12＞x22,∴＜-,∴＜,

∴

即f(x1)＜f(x2)

它表明當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)是遞增的.

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0.9524
．

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