Question

設(shè)0≤a≤π，不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對(duì)于x屬于一切實(shí)數(shù)恒成立，則a的取值范圍是

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可將不等式恒成立等價(jià)于△≤0，列出關(guān)于a的不等式，利用三角函數(shù)的二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，求解不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對(duì)于x屬于一切實(shí)數(shù)恒成立，
∴△=（-8sina）²-4×8×cos2a≤0，
∴64sin²a-32cos2a≤0，即2sin²a-cos2a≤0，
∴1-2cos2a≤0，即cos2a≥

1

2

，
∴-

π

3

+2kπ≤2a≤

π

3

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤a≤

π

6

+kπ，
又∵0≤a≤π，
∴0≤a≤

π

6

或

5π

6

≤a≤π，
∴a的取值范圍是[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．
故答案為：[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．對(duì)于二次函數(shù)問(wèn)題特別要注意對(duì)開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸以及判別式的研究．本題解題過(guò)程中考查了三角函數(shù)的求解．屬于中檔題．