已知△ABC中AB=4，AC=5，BC=7，點(diǎn)O是其內(nèi)切圓圓心，則
AO
•
BC
=
 
．
分析：利用三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
設(shè)點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)．
設(shè)AE=AF=x，CE=CD=y，BD=BF=z．
則
x+y=5
y+z=7
x+z=4
，解得x=1．
設(shè)∠DAC=θ．在Rt△OAE中，AO•cosθ=AE=1．
∴
AO
•
BC
=
AO
•(
AC
-
AB
)=
AO
•
AB
-
AO
•
AC
=|
AO
| |
AB
|cosθ-|
AO
| |
AC
|cosθ
=5|
AO
|cosθ-4|
AO
|cosθ
=|
AO
|cosθ
=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，屬于難題．
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（2012•石家莊一模）選修4-1幾何證明選講
已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，
AC
上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），延長(zhǎng)BD至E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（I）求證．∠CDF=∠EDF
（II）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

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(I )求證：；

(II)求證：AB.AC.DF=AD.FC.FB.

 

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選修4-1幾何證明選講
已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），延長(zhǎng)BD至E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（I）求證．∠CDF=∠EDF
（II）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

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