Question

8．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線L和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）在曲線C上求一點Q，使得Q到直線L的距離最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線L的普通方程，由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C的普通方程．
（Ⅱ）設Q（5+cosα，sinα），求出Q到直線L的距離，由此利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵直線L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，
∴直線L的普通方程為：$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為（x-5）²+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）設Q（5+cosα，sinα），Q到直線L的距離：
$d=\frac{{|5+cosα-\sqrt{3}sinα+1|}}{2}=3-（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα）=3-sin（α-\frac{π}{6}）$，
當$sin（α-\frac{π}{6}）=1$時，即$α=\frac{2π}{3}$，d_min=2
此時點Q坐標為$Q（\frac{9}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$…（10分）

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程、普通方程的互化，考查點到直線距離的最小值的求法，是基礎題，解題時要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理運用．