Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且對于所有的正整數(shù)n，有．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求數(shù)列{b_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)條件知當(dāng)n=1時(shí)，，a₁=1．當(dāng)n=2時(shí)，，a₂=3．
（II）由，知4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．由此可知a_n=2n-1．
（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]，由此能夠求出其結(jié)果．
解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，，
∴，a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，，
∴，a₂=3．
（II）∵，
∴4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．
（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）
=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]
=1+
=．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)算，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．