Question

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為平面內(nèi)的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點P的軌跡為曲線г．
（Ⅰ）求曲線г的方程；
（Ⅱ）判斷原點O關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點R是否在曲線г包圍的范圍內(nèi)？說明理由．
（說明：點在曲線г包圍的范圍內(nèi)是指點在曲線г上或點在曲線г包圍的封閉圖形的內(nèi)部．）
（Ⅲ）設(shè)Q是曲線г上的一點，過點Q的直線l 交 x 軸于點F（-1，0），交 y 軸于點M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l 的斜率．

Answer 1

分析：（I）由題意利用橢圓的定義即可得出；
（II）解法一：利用軸對稱（垂直平分）的知識可求出：原點O關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），再判斷

m2

4

+

n2

2

＜1是否成立即可．
解法二：同解法一求出點R（m，n），進而得到直線OR的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可得出交點G，H．判斷點R是否在在線段GH上即可．
（III）由已知可得直線l的方程，可得點M的坐標，由Q，F(xiàn)，M三點共線，及|

MQ

|=2|

QF

|，即可得出點Q的坐標，代入橢圓方程即可得到直線l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點P到兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)的距離之和為定值4，
所以點P的軌跡是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的橢圓．
又a=2，c=

2

，所以b=

2

．
故所求方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解法一：設(shè)原點O關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關(guān)于直線的對稱點的性質(zhì)得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
此時

12

4

+

12

2

=

3

4

＜1，∴R在曲線г包圍的范圍內(nèi)．
解法二：設(shè)原點O關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關(guān)于直線的對稱點的性質(zhì)得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1），
∴直線OR的方程：y=x
設(shè)直線OR交橢圓

x2

4

+

y2

2

=1于G和H，
由

y=x x2 4 + y2 2 =1

得：

x= 2 3 3 y= 2 3 3

或

x=- 2 3 3 y=- 2 3 3

即G(

2 3

3

，

2 3

3

)，H(-

2 3

3

，-

2 3

3

)．
顯然點R在線段GH上．∴點R在曲線г包圍的范圍內(nèi)．
（Ⅲ）由題意知直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 的斜率為k，直線l 的方程為y=k（x+1）．
則有M（0，k），設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，M三點共線，且|

MQ

|=2|

QF

|，
根據(jù)題意，得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

．
又點Q在橢圓上，所以

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1．
解得k=0，k=±4．
綜上，直線l 的斜率為k=0，k=±4．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、向量關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．