Question

定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立
（1）求f（0）的值
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)
（3）若f（1+2^x）+f（t•3^x）＞0對x∈（-∞，1]恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，能求出f（0）．
（2）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）⇒f（-x）=-f（x），由此能夠證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（t•3^x）＞-f（1+2^x），知f（t•3^x）＞f（-1-2^x），所以t•3^x＞-1-2^x，t＞-(

1

3

)x-(

2

3

)x恒成立，由此能求出t的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=0，
則f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）∵f（t•3^x）＞-f（1+2^x），
∴f（t•3^x）＞f（-1-2^x），
∴t•3^x＞-1-2^x
∴t＞-(

1

3

)x-(

2

3

)x恒成立，
而-(

1

3

)x-(

2

3

)x單調(diào)遞增，
∴-(

1

3

)x-(

2

3

)x≤-1
從而t＞-1．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的靈活運用．