Question

關(guān)于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（-∞，-3）∪{6}

．

Answer 1

分析：首先換元，令t=2^x，則關(guān)于t方程 t²-kt+k+3=0只有一個(gè)正根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出一元二次方程要滿足的條件，得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)t=2^x，t＞0
x的方程4^x-k•2^x+k+3=0轉(zhuǎn)化為t²-kt+k+3=0，設(shè)f（t）=t²-kt+k+3，
原方程只有一個(gè)根，則換元以后的方程有一個(gè)正根，
∴f（0）＜0，或△=0，
∴k＜-3，或k=6
故答案為（-∞，-3）∪{6}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根存在的條件，考查換元的數(shù)學(xué)思想，本題解題的關(guān)鍵是注意換元過程中變量范圍的改變．本題是一個(gè)中檔題目．