Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，結(jié)果用集合或區(qū)間表示．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=a^-x-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．
∴．
（3）不等式等價(jià)于或．
當(dāng)a＞1時(shí)，有或，注意此時(shí)log_a2＞0，log_a5＞0．
可得此時(shí)不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（-∞，+∞）．
分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，知f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=a^-x-1，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．由此能求出f（x）的解析式．
（3）不等式等價(jià)于或．當(dāng)a＞1時(shí)，有或，此時(shí)不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．同理可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R．由此能求出關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的奇偶性的靈活運(yùn)用．