Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），h(x)=

x

x+1

，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，比較f（x）和h（x）的大�。�
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)性和最值；（2）根據(jù)S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹及an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）把（2）求得的結(jié)果代入cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，求得cn=(-1)n+1•

1

n

，∴T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

進(jìn)行變形，利用（1）的結(jié)論即可證明不等式．

解答：解（1）令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，則g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，ln(x+1)＞

x

x+1

即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞h（x），
（2）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（3）因?yàn)?span id="jzpjnbt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">cn=(-1)n+1•

1

n

，
則當(dāng)n≥2時(shí)，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．
下面證

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

2

由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n個(gè)式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問題（3）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．