Question

中國籃球職業(yè)聯賽（CBA）的總決賽采用七局四勝制．當兩支實力水平相當的球隊進入總決賽時，根據以往經驗，第一場比賽中組織者可獲票房收入3a萬元，以后每場比賽票房收入比上一場增加a萬元，當兩隊決出勝負后，求：
（1）組織者至少可以獲得多少票房收入？
（2）決出勝負所需比賽場次的均值．
（3）組織者獲得票房收入不少于33a萬元的概率．

Answer 1

（1）根據題意，采用七局四勝制，分出勝敗至少要4局，
則此時組織者可以獲得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a萬元，
即組織者至少可以獲得18a萬元的票房收入；
（2）根據題意，兩支球隊的實力水平相當的球隊，設兩隊為甲隊、乙隊，且甲隊、乙隊每局取勝的概率為

1

2

；
設決出勝負所需比賽場次的值為ξ，則ξ可取的值為4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出勝負，包括甲連勝4局與乙連勝4局兩種情況，
則P（ξ=4）=2×（

1

2

）⁴=

1

8

；
ξ=5，即5局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₄³×（

1

2

）⁴×

1

2

=

1

8

，同理乙取勝的概率為

1

8

，
則P（ξ=5）=2×

1

8

=

1

4

，
ξ=6，即6局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₅³×（

1

2

）⁵×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=6）=2×

5

32

=

5

16

，
ξ=7，即7局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₆³×（

1

2

）⁶×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=7）=2×

5

32

=

5

16

，
決出勝負所需比賽場次的均值為4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

；
故決出勝負所需比賽場次的均值為

93

16

．
（3）進行4場，5場，6場，7場比賽組織者可分別獲得票房收入為
18a萬元，25a萬元，33a萬元，42a萬元，
故票房收入不少于33a萬元的概率P=

5

16

+

5

16

=

5

8