Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，向量

AB

=（S_n，

1

4

-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-

1

2

），且滿足

AB

∥

CD

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若數(shù)列對任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-

n

2

-1，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合,數(shù)列遞推式,平行向量與共線向量

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

AB

∥

CD

可得到S_n與a_n之間的遞推式，然后利用an=

s1，           n=1 sn-sn-1，n≥2

，求出a_n是一個等比數(shù)列．
（2）先假設(shè)存在，然后根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為化簡式子a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈后，解關(guān)于n的不等式的問題，解出n≥n₀，則存在M≥n₀，否則不存在．
（3）等式左邊是一個數(shù)列和的問題，將a_n代入后，因為{a_n}是等比數(shù)列，因此可采用類似于錯位相減法的方法變形、化簡．化簡后經(jīng)過整理應(yīng)該可以求出b_n．

解答： 解：（1）∵向量

AB

=（S_n，

1

4

-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-

1

2

），且滿足

AB

∥

CD

，
∴-

1

2

Sn-(

1

4

-an)=0，即S_n=2an-

1

2

①，
易知當(dāng)n=1時，a1=

1

2

；n≥2時，S_n-1=2an-1-

1

2

②，
由①-②得a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以a1=

1

2

為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=

1

2

×2n-1=2n-2．
（2）由（1）知，an=2n-2，∴a₁a₄a₇…a_3n-2=

1

2

×22×25×…×23n-2=2

n(3n-5)

2

，a₇₈=2⁷⁶，
由a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈得2

n(3n-5)

2

＞276，∴

n(3n-5)

2

＞76，即3n²-5n-152=0，
解得n＜-

19

3

(舍)或n＞8，
∴存在正整數(shù)M≥8，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立，且M的最小值為8．
（3）由題意得b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-

n

2

-1 ③
則n≥2時，b₁a_n-1+b₂a_n-2+b₃a_n-3+…+b_n-2a₂+bn-1a1=2n-1-

n-1

2

-1 ④
④式兩邊同乘以2得b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-2a₃+b_n-1a₂=2ⁿ-（n-1）-2 ⑤
由③-⑤得b_na₁=

n

2

，又a1=

1

2

，所以b_n=n（n≥2），經(jīng)驗證，n=1時代入③式成立，
∴{b_n}的通項公式為b_n=n．

點(diǎn)評：利用an=

s1，           n=1 sn-sn-1，n≥2

，將給的和項混合式轉(zhuǎn)化為項與項之間或和與和之間的關(guān)系式，然后再求通項或和的公式是一種�？寄Ｊ�；而第（3）問則靈活地借用了“錯位相減法”解題策略．