Question

（2012•泰州二模）若動(dòng)點(diǎn)P在直線l₁：x-y-2=0上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線l₂：x-y-6=0上，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x₁，y₁），且（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，則x₁²+y₁²的取值范圍是

[8，16]

．

Answer 1

分析：由題意求出M所在的直線方程與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，畫(huà)出圖形，通過(guò)

x

2 1

+

y

2 1

的幾何意義，求出它的范圍即可．

解答：解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在直線l₁：x-y-2=0上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線l₂：x-y-6=0上，
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x₁，y₁），所以M在直線x-y-4=0，
又M滿足（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，所以M的軌跡是直線x-y-4=0與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，
如圖：

x

2 1

+

y

2 1

的幾何意義是坐標(biāo)原點(diǎn)到線段x-y-4=0（0≤x≤4）距離的平方，因?yàn)閳A的圖形過(guò)原點(diǎn)，
所以

x

2 1

+

y

2 1

的最小值為：8．最大值為：16．

x

2 1

+

y

2 1

的取值范圍是[8，16]．
故答案為：[8，16]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，M表示的直線段以及表達(dá)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．