Question

【選修4-5：不等式選講】
（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a、b滿足a³-b³=a²-b²，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作差（x³+y³）-（x²y+xy²）后化積，利用綜合法對(duì)乘積的符號(hào)進(jìn)行判斷，即可證得結(jié)論成立；
（2）從已知a³-b³=a²-b²出發(fā)，利用a＞0，b＞0，a≠b，結(jié)合基本不等式可求得3（a+b）²-4（a+b）＜0，從而可求a+b的取值范圍．

解答：（1）證明：∵（x³+y³）-（x²y+xy²）
=x²（x-y）+y²（y-x）
=（x-y）（x²-y²）
=（x-y）²（x+y）
又x、y都是正實(shí)數(shù)，
∴（x-y）²≥0、x+y＞0，即（x³+y³）-（x²y+xy²）≥0
∴x³+y³≥x²y+xy²；
（2）∵a³-b³=a²-b²，
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），
又a≠b，故a-b≠0，
∴a²+ab+b²=a+b，
即（a+b）²-ab=a+b，又a＞0，b＞0，a≠b，
∴ab=（a+b）²-（a+b）＜(

a+b

2

)2，
∴3（a+b）²-4（a+b）＜0，
∴0＜a+b＜

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法證明不等式，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應(yīng)用，考查推理與證明能力，屬于難題．