Question

已知函數f（x）=ln（x+1）-

x

a(x+1)

．
（1）若函數f（x）在[0，+∞）內為增函數，求正實數a的取值范圍．
（2）當a=1時，求f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值和最小值；
（3）試利用（1）的結論，證明：對于大于1的任意正整數n，都有

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，則導數f′（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立即可，分離參數即得a≥

1

x+1

對任意x∈[0，+∞）恒成立，a≥（

1

x+1

）_max（x∈[0，+∞））即可．
（2）a=1時，求f（x）的導數，再令導數等于0，得到的x的值為函數的極值點，在借助函數在[-

1

2

，1]的單調性，判斷函數當x為何值時有最大值，何時有最小值．
（3）由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）上是增函數，則f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

1+x

，x∈[0，+∞）成立．即ln

n+1

n

＞

1

n+1

，得證，或利用數學歸納法來證明也可．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-

x

a(x+1)

，∴f′（x）=

a(x+1)-1

a(x+1)2

（a＞0）．
∵函數f（x）在[0，+∞）內為增函數，∴f′（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴a（x+1）-1≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，即a≥

1

x+1

對任意x∈[0，+∞）恒成立．
而當x∈[0，+∞）時，（

1

x+1

）_max=1，∴a≥1．
（2）當a=1時，f′（x）=

x

(x+1)2

．∴當x∈[-

1

2

，0）時，f′（x）＜0，f（x）在[-

1

2

，0）上單調遞減，
當x∈（0，1]時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，∴f（x）在[-

1

2

，1]上有唯一極小值點，
故f（x）_min=f（0）=0．又f（-

1

2

）=1+ln

1

2

=1-ln2，f（1）=-

1

2

+ln2，
f（-

1

2

）-f（1）=

3

2

-2ln2=

3-ln16

2

=

lne3-ln16

2

∵e³＞16，
∴f（-

1

2

）-f（1）＞0，即f（-

1

2

）＞f（1）．∴f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值為f（-

1

2

）=1-ln2．
綜上，函數f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值是1-ln2，最小值是 0．
（3）法一：用數學歸納法．
①當n=2時，要證

1

2

＜ln2，只要證ln4＞1，顯然成立．
②假設當n=k時，不等式

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k

＜lnk（k＞1，k∈N^*）成立．
則當n=k+1時，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k

+

1

k+1

＜lnk+

1

k+1

．要證lnk+

1

k+1

＜ln（k+1）成立，
只要證

1

k+1

＜ln

k+1

k

，即

1

k+1

＜ln（1+

1

k

）． 令

1

k

=x＞0，則上式化為

x

1+x

＜ln（1+x）（x＞0）．
只要證：ln（1+x）-

x

1+x

＞0（*）．
由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）內是增函數，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

x+1

x∈[0，+∞）成立，而（*）中x=

1

k

（k＞1，k∈N^*），x＞0，
∴l(xiāng)n（1+x）-

x

1+x

＞0　即（*）式成立．∴當n=k+1時，不等式成立．
由①②知對任意n＞1的正整數不等式都成立．
法二：由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）上是增函數，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

1+x

，x∈[0，+∞）成立．
令x=

1

n

（n∈N^*），則x＞0，∴有l(wèi)n（1+x）＞

x

1+x

，即ln

n+1

n

＞

1

n+1

．
由此得ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

，
則ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，即得lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．
故對大于1的任意正整數n．都有

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查大小比較，解題的關鍵是正確求出導函數，合理構建不等式，屬于中檔題．