Question

已知橢圓C以雙曲線

x2

3

-y2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件b²=a²-c²求出b，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后求出M，N的橫坐標(biāo)的和與積，代入

AM

•

AN

=0得到k與m的關(guān)系，從而證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：由雙曲線

x2

3

-y2=1，得c²=3+1=4，∴其焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0）．頂點(diǎn)為（-

3

，0），（

3

，0）．
則所求橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=

3

，b²=a²-c²=4-3=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 4 +y2=1

⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
得

x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

．
∵以MN為直徑的圓過點(diǎn)A（-2，0），∴

AM

•

AN

=0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，整理得5m²-16km+12k²=0，
∴m=

6

5

k或m=2k，滿足△＞0，
若m=2k，則直線l恒過定點(diǎn)A（-2，0），不合題意；
若m=

6

5

k，則直線l恒過定點(diǎn)(-

6

5

，0)．
∴則直線l恒過定點(diǎn)(-

6

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是把以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積等于0解題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是高考試卷中的壓軸題．