Question

（2013•肇慶一模）已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，nan+1=2Sn(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，bn+1=

1

ak

b

2 n

+bn，求證：當(dāng)n≤k時(shí)有b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，nan+1=2Sn(n∈N*)．可得 a₂=2a₁=2；及a₃=S₂=a₁+a₂=3可得a₄=4；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n，再構(gòu)造一式：（n-1）a_n=2S_n-1，兩式相減可化得

an+1

an

=

n+1

n

，從而有a₂=2，

a3

a2

=

2+1

2

，…，

an

an-1

=

n

n-1

以上（n-1）個(gè)式子相乘得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（3）分析可得{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：當(dāng)n≤k時(shí)，b_n＜1，只需證b_k＜1．下面分（i）當(dāng)k=1時(shí)和（ii）當(dāng)k≥2時(shí)，結(jié)合裂項(xiàng)法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和可得當(dāng)n≤k時(shí)有b_n＜1．

解答：解：（1）由a₁=1，nan+1=2Sn(n∈N*)．
得 a₂=2a₁=2，（1分）
a₃=S₂=a₁+a₂=3，（2分）
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），
得a₄=4                        （3分）
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n  ①，
得（n-1）a_n=2S_n-1  ②（4分）
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化簡(jiǎn)得na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

（n＞1）．（5 分）
∴a₂=2，

a3

a2

=

2+1

2

，…，

an

an-1

=

n

n-1

                          （6 分）
以上（n-1）個(gè)式子相乘得a_n=2×

3

2

×…×

n

n-1

（n＞1）（7 分）
又a₁=1，∴a_n=n（n∈N₊）                              （8 分）
（3）∵a_n=n＞0，b₁=

1

2

＞0，b_n+1=

1

ak

b

2 n

+b_n，
∴{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：當(dāng)n≤k時(shí)，b_n＜1，
只需證b_k＜1．（9分）
（i）當(dāng)k=1時(shí)，b₁=

1

2

＜1，顯然成立；                          （10分）
（ii）當(dāng)k≥2時(shí)，
∵b_n+1＞b_n＞0，bn+1=

1

ak

b

2 n

+bn，
∴bn+1=

1

k

bn+1

b

n

+bn，
∴

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

k

．（11分）
∴

1

bk

=(

1

bk

-

1

bk-1

)+(

1

bk-1

-

1

bk-2

)+…+(

1

b2

-

1

b1

)+

1

b1

＞-

k-1

k

+2=

k+1

k

（12分）
∴b_k＜

k

k+1

＜1．（13分）
綜上，當(dāng)n≤k時(shí)有b_n＜1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列問(wèn)題比較經(jīng)典的考題，是高考試卷考查數(shù)列的常見(jiàn)題型，首先要根據(jù)定義法，迭代法、構(gòu)造數(shù)列法等求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和．