Question

如圖，在正方體A₁B₁C₁D₁－ABCD中，棱長為a，求兩異面直線B₁D₁和C₁A所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：取D1D、B1B的中點(diǎn)分別為M、N，連結(jié)MN，則B1D1∥MN，且MN過正方體的中心O點(diǎn)，又由點(diǎn)O∈C1A，連結(jié)AN，則∠AON為所求異面直線B1D1和C1A所成的角或其補(bǔ)角． 　　∵B＝a，NB＝，∴在Rt△NBA中，AN2＝AB2＋NB2＝a2＋()2＝a2． 　　∵正方體棱長為a， 　　∴MN＝B1D1＝，AC1＝． 　　又∵O是正方體對稱中心，∴ON＝MN＝a．而AO＝AC1＝a， 　　∴AO2＋ON2＝(a)2＋(a)2＝a2＝AN2． 　　∴△AON是直角三角形， 　　即∠AON＝90°．故異面直線B1D1和C1A所成角是90°． 　　解法2：(補(bǔ)體法)在原正方體A1B1C1D1－ABCD的旁邊，補(bǔ)上一個與原正方體棱長相等的正方體，如圖所示．取新正方體與A1D1在同一直線的頂點(diǎn)為E，連結(jié)C1E、AE，由正方體性質(zhì)可知，C1EB1D1， 　　∴∠EC1A為所求兩異面直線B1D1和C1A所成的角或其補(bǔ)角． 　　∵正方體棱長為a，由正方體性質(zhì)知C1E＝，C1A＝， 　　又EA2＝A1A2＋AE2＝a2＋(2a)2＝5a2＝C1E2＋C1A2， 　　∴△EAC1是直角三角形，∠EC1A＝90°． 　　深化升華：割補(bǔ)法在立體幾何中有廣泛的用途，對于“補(bǔ)”來說，可以全補(bǔ)(如本例)也可以“局部補(bǔ)形”(如本例只將底面A1B1C1D1延伸至A1B1E，所作平行線為EC1，構(gòu)成△EAC1)，都可以達(dá)到目的．

提示：

可將B1D1平移，使B1移到C1或A1；也可將C1A平移，使C1移到B1或D1，但此時B1D1落到正方體外面去了或C1A落到正方體外面去了，給解題帶來了困難，如果利用正方體的對稱中心，也能求出異面直線所成的角．