Question

已知f（x-1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，f（2008）=1，則f（4）=

-1

．

Answer 1

分析：由題設條件知f（x-1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，可由函數(shù)的奇偶性建立方程，研究出函數(shù)的周期來，再求函數(shù)值．

解答：解：∵f（x-1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)
∴f（-x-1）=-f（x-1），f（-x+1）=f（x+1）恒成立
∴在f（-x-1）=-f（x-1）中，令t=x-1，則x=t+1，故有f（-t-2）=-f（t）①
在f（-x+1）=f（x+1）中令t=x+1，則有x=t-1，故有f（t）=f（-t+2）②
由①②得-f（-t-2）=f（-t+2）③，
再令m=-t+2，則t=-m+2，代入③得f（m）=-f（m-4）=f（m-8），由此知函數(shù)的周期是8
又2008=251×8
故有f（2008）=f（0）=1
由③知f（4）=-f（0）=-1
故答案為-1

點評：本題考查函數(shù)的周期性，此類題有一個明顯的特征，即題設中有恒等式或者有可轉化為恒等式的關系，且所求的值與已知值的自變量之間差較大，不可能用列舉法求解，通過恒等式推斷出函數(shù)的周期是本題的解題的關鍵，本題的難點是綜全利用所給的恒等式求出概率