Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數列；
（2）求數列{S_n}的通項公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）通過a_n=S_n-S_n-₁求出當≥2時，a_n的通項公式，進而可得出

an-1

an-1-1

為常數，進而驗證a₁-1最后可確定{a_n-1}是等比數列；
（2）根據（1）{a_n-1}是以15為首項，公比為

5

6

的等比數列可求得數列{a_n-1}的通項公式，進而求出數列{a_n}的通項公式．可知
{a_n}是由常數列和等比數列構成，進而求出S_n．進而代入S_n+1＞S_n兩邊求對數，進而可得答案．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=-14；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以an-1=

5

6

(an-1-1)，
又a₁-1=-15≠0，所以數列{a_n-1}是等比數列；
（2）由（1）知：an-1=-15•(

5

6

)n-1，
得an=1-15•(

5

6

)n-1，
從而Sn=75•(

5

6

)n-1+n-90（n∈N^*）；
由S_n+1＞S_n，得(

5

6

)n-1＜

2

25

，n＞log

5

6

2

25

+1≈14.9，
最小正整數n=15．

點評：本題主要考查了數列等比關系的確定．等比數列的通向公式可以寫成

anq

a1

=qn，所以它與指數函數和對數函數有著密切的聯系，從而可以利用指數函數和對數函數的性質來研究等比數列．