【答案】
分析:(1)由等差數(shù)列的定義,若數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,則a
n=a
1+(n-1)d,a
n+1=a
1+nd.結(jié)合a
n+1+a
n=4n-3,得即可解得首項a
1的值;
(2)由a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*),用n+1代n得a
n+2+a
n+1=4n+1(n∈N
*).兩式相減,得a
n+2-a
n=4.從而得出數(shù)列{a
2n-1}是首項為a
1,公差為4的等差數(shù)列.進一步得到數(shù)列{a
2n}是首項為a
2,公差為4的等差數(shù)列.下面對n進行分類討論:①當n為奇數(shù)時,②當n為偶數(shù)時,分別求和即可;
(3)由(2)知,a
n=
(k∈Z).①當n為奇數(shù)時,②當n為偶數(shù)時,分別解得a
1的取值范圍,最后綜上所述,即可得到a
1的取值范圍.
解答:解:(1)若數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,則a
n=a
1+(n-1)d,a
n+1=a
1+nd.
由a
n+1+a
n=4n-3,得(a
1+nd)+[a
1+(n-1)d]=4n-3,即2d=4,2a
1-d=-3,解得d=2,a
1=
.
(2)由a
n+1+a
n=4n-3(n∈N
*),得a
n+2+a
n+1=4n+1(n∈N
*).
兩式相減,得a
n+2-a
n=4.
所以數(shù)列{a
2n-1}是首項為a
1,公差為4的等差數(shù)列.
數(shù)列{a
2n}是首項為a
2,公差為4的等差數(shù)列.
由a
2+a
1=1,a
1=2,得a
2=-1.
所以a
n=
(k∈Z).
①當n為奇數(shù)時,a
n=2n,a
n+1=2n-3.S
n=a
1+a
2+a
3+…+a
n=(a
1+a
2)+(a
3+a
4)+…+(a
n-2+a
n-1)+a
n=1+9+…+(4n-11)+2n=
+2n=
.
②當n為偶數(shù)時,S
n=a
1+a
2+a
3+…+a
n=(a
1+a
2)+(a
3+a
4)+…+(a
n-1+a
n)═1+9+…+(4n-7)=
.
所以S
n=
(k∈Z).
(3)由(2)知,a
n=
(k∈Z).
①當n為奇數(shù)時,a
n=2n-2+a
1,a
n+1=2n-1-a
1.
由
≥5,得a
12-a
1≥-4n
2+16n-10.
令f(n)=-4n
2+16n-10=-4(n-2)
2+6.
當n=1或n=3時,f(n)
max=2,所以a
12-a
1≥2.
解得a
1≥2或a
1≤-1.
②當n為偶數(shù)時,a
n=2n-3-a
1,a
n+1=2n+a
1.
由
≥5,得a
12+3a
1≥-4n
2+16n-12.
令g(n)=-4n
2+16n-12=-4(n-2)
2+4.
當n=2時,g(n)
max=4,所以a
12+3a
1≥4.
解得a
1≥1或a
1≤-4.
綜上所述,a
1的取值范圍是(-∞,-4]∪[2,+∞).
點評:本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前n項和、不等式的解法、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.