Question

（2012•江蘇一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：不等式0＜a_n＜a_n+1對于任意的n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）利用a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

，將n=1，2代入計算，即可求a₂，a₃的值；
（2）對an+1=

2an

an+1

兩邊取倒數(shù)，可得{

1

an

-1}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，即可確定數(shù)列的通項，從而可證結(jié)論．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

∴a2=

1

1 2 +1

=

2

3

，a3=

4 3

2 3 +1

=

4

5

（2）證明：因為a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

 (n∈N*)，所以an≠0(n∈N*)．
于是在an+1=

2an

an+1

兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，
整理得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，而

1

a1

-1=1，
所以{

1

an

-1}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以

1

an

-1=(

1

2

)n-1，所以

1

an

=1+(

1

2

)n-1＞0，
所以0＜

1

an+1

=1+(

1

2

)n＜

1

an

，
故不等式0＜a_n＜a_n+1對于任意n∈N^*都成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，兩邊取倒數(shù)，證明數(shù)列是等比數(shù)列是關(guān)鍵．