Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=

π

2

，∠BAC=∠CAD=

π

3

，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2，CD=2

3

．
（1）若F為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA=CA，從而AF⊥PC，由線面垂直得PA⊥CD，又AC⊥CD，從而CD⊥PC，由三角形中位線性質(zhì)得EF∥CD，從而EF⊥PC，進(jìn)而PC⊥平面AEF，由此能證明平面PAC⊥平面AEF．
（2）過E作EF⊥平面ABCD，交AD于E，過F作FO⊥AC，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，由三垂線定理得∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，由正弦定理，得∠ADC=30°，從而∠ACD=90°，由此能求出二面角E-AC-D的大�。�

解答： （1）證明：∵∠ABC=

π

2

，∠BAC=∠CAD=

π

3

，PA=2AB=2，
∴AC=2，∴PA=CA，又F為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD，則EF⊥PC，
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF，
又PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面AEF．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，
∴過E作EF⊥平面ABCD，交AD于E，EF=

1

2

PA=1，
過F作FO⊥AC，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，
由三垂線定理得∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，
∵∠CAD=

π

3

，AC=2，CD=2

3

，
∴由正弦定理，得

2

sin∠ADC

=

2 3

sin60°

，
∴sin∠ADC=

2sin60°

2 3

=

1

2

，∴∠ADC=30°，∴∠ACD=90°，
∴OF=

1

2

CD=

3

，
∴tan∠EOF=

EF

OF

=

1

3

=

3

3

，
∴∠EOF=30°，
∴二面角E-AC-D的大小為30°．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，涉及到線面垂直、二面角、點(diǎn)到平面距離、線面角、三角形中位線、三垂線定理、正弦定理等知識點(diǎn)，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．