Question

關(guān)于x的方程e^xlnx=1的實(shí)根個數(shù)是______．

Answer 1

∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+

ex

x

=e^x（lnx+

1

x

），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+

1

x

）=

xlnx+1

x

=0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，
當(dāng)x＞

1

e

時 g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＜

1

e

時，g（x）為減函數(shù)，
∴g（x）的極小值也是最小值為g（

1

e

）=-

1

e

+1＞0，
∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
f（

1

e

）=e

1

e

×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的實(shí)根個數(shù)是1個，
故答案為1．