Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，又當x∈[-

3

4

，-

1

2

]時，f（x）≤-

3

4

（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a₁=2，點（a_n，a_n+1）在f（x）的圖象上，其中n∈N⁺求數(shù)列{a_n}的通項．

Answer 1

分析：（1）配方求出二次函數(shù)的最小值，由最小值大于等于-1解得a的范圍，再由函數(shù)在區(qū)間
[-

3

4

，-

1

2

]的兩個端點處的函數(shù)值小于等于-

3

4

求出a的范圍，取交集得到a的值，則函數(shù)f（x）的解析式可求；
（2）把點（a_n，a_n+1）代入函數(shù)f（x）的解析式，整理后得到數(shù)列{lg（1+a_n）}，是以lg3為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項．

解答：解：（1）f （x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，∴-

a2

4

≥-1，故-2≤a≤2，由x∈[-

3

4

，-

1

2

]時，
f （x）≤-

3

4

得，

9

16

-

3

4

a≤-

3

4

，且

1

4

-

1

2a

≤-

3

4

，故a≥

7

4

且a≥2，則a=2，
故f （x）=x²+2x；
（2）由（a_n，a_n+1）在f（x）的圖象上，得a_n+1=an2+2a_n，∴a_n+1+1=（a_n+1）²，
兩邊取對數(shù)可得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
又lg（1+a₁）=lg（1+2）=lg3≠0．
∴數(shù)列{lg（1+a_n）}，是以lg3為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴lg(1+an)=2n-1•lg3，an=32n-1-1．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了函數(shù)解析式的常用求法，解答此題的關鍵在于配方后想到取對數(shù)，是中檔題．