Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）證明數列是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）數列{b_n}滿足，，對任意n∈N^*，都有．若對任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可得（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），與原式相減得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，可得（n≥2），由等比數列的定義可證，進而可得通項；（II）易得數列{b_n}的通項公式，代入原式，不等式可化為λ＞對任意的n∈N^*，恒成立，構造f（n）==1-，由f（n）的單調性可得范圍，進而可得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），兩式相減得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即（n≥2），由a₁=1，可得a₂=2，
從而對任意 n∈N^*，，又，即是首項公比均為1的數列，
所以=1×1^n-1=1，故數列{a_n}的通項公式a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（II）在數列{b_n}中，由，知數列{b_n}是等比數列，且首項、公比均為，
∴數列{b_n}的通項公式（6分）
故原不等式可化為（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0對任意的n∈N^*，恒成立，
變形可得λ＞對任意的n∈N^*，恒成立，
令f（n）===1-=1-=1-，
由n+6≥7，單調遞增且大于0，
∴f（n）單調遞增，且當n→+∞時，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故實數λ的取值范圍是[1，+∞）
點評：本題考查等比關系的確定，涉及函數的恒成立問題的應用，屬中檔題．