Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{b-1}{x}$，對任意的x∈（0，+∞），滿足f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，其中a、b為常數(shù)（e=2.71828…）．
（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=1處的切線經(jīng)過點（0，-5），求a、b的值；
（Ⅱ）已知0＜a＜1，求證：f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）＞0；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）存在三個不同的零點時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求得a=b-1，代入原函數(shù)求得則f′（1），再求出f（1）由直線方程點斜式求得切線方程，代入（0，-5）求得a=2，b=-1
（Ⅱ）求出f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）=2lna+$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-ln3=，令g（x）=2lnx+$\frac{3}{x}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$-ln3，（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，則由g（x）＞g（1）＞0得答案；
（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$的導(dǎo)函數(shù)，分析可知當(dāng)a≤0時，當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，不符合題意，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$0時，進(jìn)一步求得導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，則x₁＜1，x₂＞1，由f（x）在（x₁，1）上遞增，得f（x₁）＜f（1）=0，再由f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）＞0，可得存在x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{3}$，x₁），使得f（x₀）=0，結(jié)合，f（1）=0，可得使f（x）存在三個不同的零點時的實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（Ⅰ）在f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0中，取x=1，得f（1）=0，
又f（1）=ln1-a+（b-1）=0，
∴a=b-1，
∴f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∴f′（1）=1-2a，
∴1-2a=5，
解得a=2，b=-1；
（Ⅱ）證明：f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）=ln$\frac{{a}^{2}}{3}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$+$\frac{3}{a}$=2lna+$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-ln3，
令g（x）=2lnx+$\frac{3}{x}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$-ln3，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$-x²=$\frac{-{x}^{4}+2x-3}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=3-$\frac{1}{3}$-ln3＞0，
∴當(dāng)0＜a＜1時，f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）＞0；
（Ⅲ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{x-a（{x}^{2}+1）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（x）至多有一個零點，不符合題意；
②當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴f（x）也至多有一個零點，不符合題意
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$＜1，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$＞1，
則當(dāng)x∈（0，x₁），（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)遞減
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，函數(shù)遞增，
∴f（x）至多有3個零點，
∵f（x）在（x₁，1）上遞增，
∴f（x₁）＜f（1）=0，
又f（$\frac{{a}^{2}}{3}$）＞0，
∴存在x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{3}$，x₁），使得f（x₀）=0，
又f（$\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x₀）=0，f（1）=0，
∴f（x）恰有三個不同的零點x₀，x，$\frac{1}{{x}_{0}}$
綜上，使f（x）存在三個不同的零點時的實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點的方法，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難度較大的題目．