Question

 

    如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點(diǎn)．

   （1）求證：平面；

   （2）求證：平面平面；

   （3）求直線和平面所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1） 證法一：取的中點(diǎn)，連．

∵為的中點(diǎn)，∴且．…………1分

∵平面，平面，

∴，∴．

又，∴．                 ………2分

∴四邊形為平行四邊形，則．

∵平面，平面，

∴平面．                         ………4分

證法二：取的中點(diǎn)，連．

∵為的中點(diǎn)，∴．      …………1分

∵平面，平面，

∴．

又，

∴四邊形為平行四邊形，則．…2分

∵平面，平面，

∴平面，平面．

又，∴平面平面．

∵平面，

∴平面．                     …………4分

（2） 證：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，

∴．

∵平面，平面，∴．

又，故平面．                  ………6分

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．                …………8分

（3） 解：在平面內(nèi)，過作于，連．

∵平面平面， ∴平面．

∴為和平面所成的角．                 …………10分

設(shè)，則，

，

R t△中，．

∴直線和平面所成角的正弦值為．…………12分

方法二：設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

．

∵為的中點(diǎn)，∴．………2分

（1） 證：，

∵，平面，∴平面． …………4分

（2） 證：∵，

∴，∴．     …………6分

∴平面，又平面，

∴平面平面．                   …………8分

（3） 解：設(shè)平面的法向量為，由可得：

，取．      …………10分

又，設(shè)和平面所成的角為，則

．

∴直線和平面所成角的正弦值為．            …………12分