Question

（2013•鄭州一模）某高校組織自主招生考試，共有2000名優(yōu)秀學(xué)生參加筆試，成績(jī)均介于195分到275分之間，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[195，205），第二組[205，215），…，第八組[265，275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績(jī)?cè)?60分（含260分）以上的同學(xué)進(jìn)入面試．
（I）估計(jì)所有參加筆試的2000名學(xué)生中，參加 面試的學(xué)生人數(shù)；
（II）面試時(shí)，每位考生抽取三個(gè)問(wèn)題，若三個(gè)問(wèn) 題全答錯(cuò)，則不能取得該校的自主招生資格；若三個(gè) 問(wèn)題均回答正確且筆試成績(jī)?cè)?70分以上，則獲A類資格；其它情況下獲B類資格．現(xiàn)已知某中學(xué)有三人獲得面試資格，且僅有一人筆試成績(jī)?yōu)?70分以上，在回答兩個(gè)面試問(wèn)題時(shí)，兩人對(duì)每一個(gè)問(wèn)題正確回答的概率均為

1

2

，求恰有一位同學(xué)獲得該高校B類資格的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)第i（i=1，2…8）組的頻率為f_i，可得f₇，可得成績(jī)?cè)?60分以上的同學(xué)的概率p，從而可求出參加面試的學(xué)生人數(shù)；
（2）不妨設(shè)兩位同學(xué)為M，N，且M的成績(jī)?cè)?70分以上，則對(duì)于M，答題的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，對(duì)于N，答題的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，其中角標(biāo)中的1表示正確，0表示錯(cuò)誤，如N₁₀表示N同學(xué)第一題正確，第二題錯(cuò)誤，將兩位同學(xué)的答題情況列出來(lái)，根據(jù)古典概型的概率公式可求出所．

解答：解：（1）設(shè)第i（i=1，2，…，8）組的頻率為f_i，
則由頻率分布直方圖知f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008）×10=0.12．
所以成績(jī)?cè)?60分以上的同學(xué)的概率p≈

f7

2

+f8=0.14，
故這2000名同學(xué)中，取得面試資格的約為280人；
（2）不妨設(shè)兩位同學(xué)為M，N，且M的成績(jī)?cè)?70分以上，
則對(duì)于M，答題的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，對(duì)于N，答題的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，
其中角標(biāo)中的1表示正確，0表示錯(cuò)誤，如N₁₀表示N同學(xué)第一題正確，第二題錯(cuò)誤，
將兩位同學(xué)的答題情況列表如下：

	M11	M10	M01	M00
N11	AB	BB	BB	CB
N10	AB	BB	BB	CB
N01	AB	BB	BB	CB
N00	AC	BC	BC	CC

表中AB表示M獲A類資格，N獲B類資格；BC表示M獲B類資格，N沒(méi)有獲得資格．所以恰有一位同學(xué)獲該高校B類資格的概率為

8

16

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及古典概型及其概率計(jì)算公式，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，運(yùn)算求解的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．