在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC，D為AB中點(diǎn)，CB=1，AC=
3
，異面直線C1D與A1B1所成角大小為arccos
1
4
．
（1）求三棱柱A1B1C1-ABC的體積；
（2）求二面角D-BC1-C的大�。�
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱柱底面面積和高，代入棱柱體積公式后，可得答案．
（2）求出是平面BCC1的一個法向量和平面BDC1的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角D-BC1-C的平面角的余弦值，進(jìn)而可得二面角D-BC1-C的大�。�
解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AA1=a，則A（
3
，0，0），B（0，1，0），D（
3
2
，
1
2
，0），C1（0，0，a）
∴
A1B1
=
AB
=（-
3
，1，0），
DC1
=(-
3
2
，-
1
2
，a)
∴cos＜
A1B1
，
DC1
＞=
3
2
-
1
2
2×
1+a2
=
1
4
，
解得a=
3

即棱柱的高AA1=
3

∴三棱柱A1B1C1-ABC的體積V=
1
2
×CA×CB×AA1=
3
2

（2）顯然，
n1
=(1，0，0)是平面BCC1的一個法向量，
設(shè)
n2
=(m，n，1)為平面BDC1的一個法向量，
∵
BC1
=(0，-1，
3
)，
BD
=(
3
2
，-
1
2
，0)
∴
n2
•
BD
=
3
2
m-
1
2
n=0
n2
•
BC1
=-n+
3

解得
m=1
n=
3

∴
n1
=(1，
3
，1)
cos＜
n1
，
n2
＞=
1
1×
5
=
5
5

所以二面角D-BC1-C的大小為arccos
5
5
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，棱柱的體積公式，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間夾角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，M、N分別是A1C1、BC1的中點(diǎn)．
（I）求證：BC1⊥平面A1B1C；
（II）求證：MN∥平面A1ABB1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB1，求證：AB1⊥平面A1BC；
（2）若BA=BC=BB1=2，M是棱BC上的一動點(diǎn)．試確定點(diǎn)M的位置，使點(diǎn)M到平面A1B1C的距離等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=
2
，∠ACB=60°，E、F分別是A1C1、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：C1F∥平面ABE；
（2）若P是線段BE上的點(diǎn)，證明：平面A1B1C⊥平面C1FP；
（3）若P在E點(diǎn)位置，求三棱錐P-B1C1F的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分別是AC和BB1的中點(diǎn)．
（1）求二面角B1-A1C-C1的大�。�
（2）證明：在AB上存在一個點(diǎn)Q，使得平面QMN⊥平面A1B1C，并求出BQ的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆四川成都雙流棠湖中學(xué)高二12月月考理數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，直線B1C與平面ABC成45°角.

（1）求證：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；

（2）求二面角A—B1C—B的余弦值.

 

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