Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件：
（1）對任意的x∈[0，1]，總有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱f（x）為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：
①若已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
②函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．

Answer 1

分析：①賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0，由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得結(jié)論成立；
②要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)，只要檢驗函數(shù)g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g(shù)（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）即可．

解答：解：①取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
得f（0）≥f（0）+f（0），化簡可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂），故函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的增函數(shù)；
②顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有
g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2^x-1滿足條件（1）、（2）、（3），
所以g（x）=2^x-1為友誼函數(shù)．

點評：采用賦值法是解決抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用的常用方法，而函數(shù)的新定義往往轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)性質(zhì)的研究，本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值域的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．