Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=4^x，則f（1）+f（2）+…+f（2014）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件推導(dǎo)出f（x+4）=f（x），f（1）=-

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4

，f（2）=0，f（3）=

1

4

，f（4）=0，由此能求出f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

解答： 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∵x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=4^x，
∴f（-1）=

1

4

，f（1）=-

1

4

，f（0）=0，
f（2）=-f（0）=0，f（3）=f（-1）=

1

4

，f（4）=f（0）=0，
∵2014÷4=503…2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）
=503×（-

1

4

+0+

1

4

+0）+（-

1

4

）+0=-

1

4

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故答案為：-

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4

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點(diǎn)評：本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的周期性的合理運(yùn)用．