Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{xlnx}{x-1}-a（a＜0）$．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，求f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若h（x）=（x²-x）•f（x），且方程h（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．求證：x₁+x₂＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，設(shè)h'（x₀）=0，則x₀∈（0，1），則h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，由（Ⅰ）知$\left.\begin{array}{l}f（{x_1}）＜f（{x_0}）\\ f（{x_2}）＞f（{x_0}）\end{array}\right\}⇒\left\{\begin{array}{l}h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）\\ h（{x_2}）＜f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）\end{array}\right.$，即可證明x₁+x₂＞1．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{x-1-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，
設(shè)g（x）=x-1-lnx，
則$g'（x）=1-\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．                                   
（Ⅱ）h（x）=x²lnx-ax²+ax（a＜0），
∴h'（x）=2xlnx+x-2ax+a，
∴h''（x）=2lnx-2a+3，
∴h''（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x→0時(shí)，h''（x）＜0，h''（1）=3-2a＞0，
∴必存在α∈（0，1），使得h''（x）=0，即2lnα-2a+3=0，
∴h'（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，在（α，+∞）上單調(diào)遞增，
又h'（α）=a-2α＜0，h'（1）=1-a＞0，
設(shè)h'（x₀）=0，則x₀∈（0，1），
∴h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（1）=0，不妨設(shè)x₁＜x₂，則0＜x₁＜x₀，x₀＜x₂＜1，
由（Ⅰ）知$\left.\begin{array}{l}f（{x_1}）＜f（{x_0}）\\ f（{x_2}）＞f（{x_0}）\end{array}\right\}⇒\left\{\begin{array}{l}h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）\\ h（{x_2}）＜f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）\end{array}\right.$，
∴$f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）＞h（{x_2}）=h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）$，
∴$（x_2^2-{x_2}）-（x_1^2-{x_1}）=（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}-1）＞0$，
∴x₁+x₂＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)和單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及方程的根與1的關(guān)系，考查了分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．