Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x滿足f（x）≤0．
（1）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）從數(shù)列{a_n}中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…第2^n-1項(xiàng)，…組成子數(shù)列{b_n}，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x滿足f（x）≤0
∴△=a²-4a=0
∴a=4
∴f（x）=x²-4x+4
∵S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=n²-4n=-3
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2n-5
綜上：a_n=2n-5
（2）根據(jù)題意：b_n=
∴s_n=2¹+2²+…+2ⁿ-5n==2ⁿ⁺¹-2-5n
分析：（1）由“二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x滿足f（x）≤0”則函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則通過△=a²-4a=0求解a從而有f（x）=x²-4x+4，得到S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n，最后由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解．
（2）由綜上：a_n=2n-5，用換元法可求得b_n=，是一個(gè)等比數(shù)列與等差數(shù)列和的形式，分別通過其前n項(xiàng)和求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和及其關(guān)系，以及構(gòu)造數(shù)列研究其通項(xiàng)與求和問題．