Question

已知橢圓與雙曲線2x²-2y²=1共焦點，且過（

2

，0）
（1）求橢圓的標準方程．
（2）求斜率為2的一組平行弦的中點軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的焦點，由此設出橢圓方程，把點（

2

，0）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程．
（2）設斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標為（x，y），把y=2x+b 代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，求出軌跡方程為y=-

1

4

x，求出直線y=2x+b 和橢圓相切時的b值，即得軌跡方程中自變量x
的范圍．

解答：解：（1）依題意得，將雙曲線方程標準化為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，則c=1．
∵橢圓與雙曲線共焦點，∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，∵橢圓過（

2

，0），
∴

2

a2

+

0

a2-1

=1，即a2=2，∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）依題意，設斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標為（x，y），則
y=2x+b 且

x2

2

+y2=1得，9x²+8xb+2b²-2=0，∴x₁+x₂=-

8b

9

，y1+y2=

2b

9

．
即x=-

4b

9

，y=

b

9

兩式消掉b得 y=-

1

4

x．
令△=0，64b²-36（2b²-2）=0，即b=±3，所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±3
即當x=±

4

3

時斜率為2的直線與橢圓相切．
所以平行弦得中點軌跡方程為：y=-

1

4

x（-

4

3

≤x≤

4

3

）．

點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用；求點的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量x的范圍，是解題的易錯點．