Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出下列三個(gè)敘述：
①a：b：c=sinA：sinB：sinC
②a：b：c=cosA：cosB：cosC
③a：b：c=A：B：C
以上三個(gè)敘述中能作為“△ABC是等邊三角形”的充分必要條件的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理和三角公式進(jìn)行推理和證明即可．

解答：解：①根據(jù)正弦定理可知對任意三角形都有a：b：c=sinA：sinB：sinC，成立，∴△ABC不一定是等邊三角形．
②若a：b：c=cosA：cosB：cosC，則由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=cosA：cosB：cosC，
即

sinA

cosA

=

sinB

cosB

=

sinC

cosC

，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形，正確．
③由正弦定理 a：b=sinA：sinB 及條件 a：b=A：B，得 A：B=sinA：sinB，
∴sinA：A=sinB：B=sinC：C．
即

sinA

A

=

sinB

B

=

sinC

C

，
設(shè)函數(shù)f（x）=

sinx

x

，x∈（0，π） 則f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=

xcosx-sinx

x2

，
x∈（0，π）時(shí)，總有 x cosx-sinx＜0，
故f（x）是區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減的函數(shù)，
∴若f（A）=f（B）=f（C），
則A=B=C，從而三角形是正三角形．
故正確的是②③．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．