Question

如圖所示，設計一個四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，已知該四棱錐底面邊長是2m，高是

7

m，
（1）求側(cè)棱與底面所成角；
（2）求制造這個塔頂需要多少鐵板？

Answer 1

分析：（1）正四棱錐S-ABCD中，連結(jié)AC和BD交于O，連接SO．可得SO⊥ABCD，∠SAO就是側(cè)棱SA與底面ABCD內(nèi)的所成角．
Rt△SOA中利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出tan∠SAO=

14

2

，即得側(cè)棱與底面所成角等于arctan

14

2

；
（2）作SP⊥AB于P，連接OP．Rt△SOP中，算出SP=2

2

（m），可得△SAB的面積S=2

2

（m²）．由此即可得到正四棱錐的側(cè)面積，從而得到制造這個塔頂需要鐵板的面積．

解答：解：（1）如圖所示，設正四棱錐S-ABCD中，連結(jié)AC和BD交于O，連接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是側(cè)棱SA在底面ABCD內(nèi)的射影
∴∠SAO就是側(cè)棱SA與底面ABCD內(nèi)的所成角
Rt△SOA中，SO=

7

m，AO=

2

2

AB=

2

m
∴tan∠SAO=

SO

AO

=

14

2

因此，∠SAO=arctan

14

2

，即側(cè)棱與底面所成角等于arctan

14

2

；
（2）作SP⊥AB于P，連接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=

7

（m），OP=

1

2

BC=1（m），
∴SP=

SO2+OP2

=2

2

（m），
則△SAB的面積S=

1

2

×AB×SP=

1

2

×2×2

2

=2

2

（m²）．
∴四棱錐的側(cè)面積是4×2

2

=8

2

（m²），
即制造這個塔頂需要8

2

m²鐵板．

點評：本題給出正四棱錐，求側(cè)棱與底面所成角，并求制造這個塔頂需要鐵板的面積．著重考查了正四棱錐的定義與性質(zhì)、直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．