Question

設(shè)P為圓C₁：x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)M滿足：

2

MQ

=

PQ

．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）過直線x=2上的點(diǎn)T作圓C₁的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與點(diǎn)M的軌跡C₂交于C，D兩點(diǎn)，若|

CD

|=λ|

AB

|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）設(shè)出M，P，Q的坐標(biāo)，由

2

MQ

=

PQ

把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓C₁：x²+y²=2可得點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（2，t），則切點(diǎn)弦AB的方程為2x+ty=2．再設(shè)出C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出圓心O到AB的距離．進(jìn)一步求得|AB|，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后寫出根浴系數(shù)關(guān)系，由弦長公式求出|CD|，得到

1

λ

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

．換元后利用導(dǎo)數(shù)求解答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₁，0），
則

MQ

=(x1-x，-y)，

PQ

=(0，-y1)，
由

2

MQ

=

PQ

，知點(diǎn)P(x，

2

y)，
∵點(diǎn)P在圓C1：x2+y2=2上，
∴x²+2y²=2，即點(diǎn)M的軌跡方程是

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（2，t），則切點(diǎn)弦AB的方程為2x+ty=2．
設(shè)點(diǎn)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則圓心O到AB的距離d=

2

4+t2

．
故|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

．
由

2x+ty=2 x2+2y2=2

得（t²+8）y²-4ty-4=0，
則y1+y2=

4t

t2+8

，y1y2=-

4

t2+8

，
故|CD|=

1+ t2 4

|y1-y2|=

2 t2+4 2t2+8

t2+8

，
從而

1

λ

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

．
設(shè)t²+4=s，則s≥4．
于是

1

λ

=

s3+6s2-32 s3

=

1+ 6 s - 32 s3

，
設(shè)

1

s

=m，m∈(0，

1

4

]，
于是

1

λ

=

1+6m-32m3

．
設(shè)f（m）=1+6m-32m³，
則f′（m）=6-96m²，
令f′（m）=0，得m=

1

4

．于是f（m）在(0，

1

4

]上單調(diào)遞增，
∴f(m)∈(1，

2

]，
即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[

2

2

，1)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了平面向量在解題中的運(yùn)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題的關(guān)鍵在于靈活變形，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是壓軸題．