Question

（12分）如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，
若在線段PD上存在點E使得BE⊥CE，求線段AD的取值范圍，并求當(dāng)線段PD上有且只
有一個點E使得BE⊥CE時，二面角E—BC—A正切值的大小。

Answer 1

若以BC為直徑的球面與線段PD有交點E，由于點E與BC確定的平面與球的截
面是一個大圓，則必有BE⊥CE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點。
設(shè)BC的中點為O（即球心），再取AD的中點M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于點E，連結(jié)OE，則OE⊥PD，所以O(shè)E即為點O到直線PD的距離，又因為OD＞OC，OP＞OA＞OB，點P，D在球O外，所以要使以BC為直徑的球與線段PD有交點，只要使OE≤OC（設(shè)OC=OB=R）即可。
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=  ，
所以O(shè)E²="9+"   令OE²≤R²，即9+ ≤R²，解之得R≥2；
所以AD=2R≥4，所以AD的取值范圍[ 4，+∞，
當(dāng)且僅當(dāng)AD= 4時，點E在線段PD上惟一存在，此時易求得二面角E—BC—A的平面角正切值為。

解析